【等比数列前n项和公式是什么】在数学中，等比数列是一种常见的数列类型，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为“公比”。等比数列前n项和是求该数列前n项之和的公式，广泛应用于数学、物理、金融等领域。
下面将对等比数列前n项和公式进行总结，并通过表格形式清晰展示不同情况下的计算方式。
一、等比数列的基本概念
- 首项：a₁（或简写为a）
- 公比：r（r ≠ 1）
- 第n项：aₙ = a × r^(n−1)
- 前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ
二、等比数列前n项和公式
根据公比r的不同，等比数列前n项和的公式也有所不同：
| 公比r的取值 | 公式表达 | 说明 |
| r ≠ 1 | Sₙ = a₁ × (1 - rⁿ) / (1 - r) | 当r不等于1时使用此公式 |
| r = 1 | Sₙ = n × a₁ | 当公比为1时，所有项都相等，直接乘以项数即可 |
三、公式推导思路（简要）
设等比数列的前n项和为 Sₙ = a + ar + ar² + … + ar^(n−1)
两边同时乘以公比r：
rSₙ = ar + ar² + ar³ + … + ar^n
用原式减去新式：
Sₙ - rSₙ = a - ar^n
Sₙ(1 - r) = a(1 - r^n)
因此：Sₙ = a(1 - r^n)/(1 - r) （当r ≠ 1）
四、示例应用
| 示例 | 首项a | 公比r | 项数n | 计算结果Sₙ |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 2×(1 - 3⁴)/(1 - 3) = 80 |
| 2 | 5 | 1 | 6 | 5×6 = 30 |
| 3 | 1 | 2 | 5 | 1×(1 - 2⁵)/(1 - 2) = 31 |
五、注意事项
- 若公比r = 1，所有项相同，直接用n×a计算；
- 公比r不能为0，否则数列退化为0序列；
- 如果r > 1，建议使用另一种形式的公式：Sₙ = a(rⁿ - 1)/(r - 1)，避免负号带来的混淆。
通过以上总结可以看出，等比数列前n项和公式的掌握对于解决实际问题具有重要意义。无论是数学学习还是工程计算，理解并灵活运用这一公式都是必不可少的基础知识。