问等比数列相关公式

【等比数列相关公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为公比。等比数列在实际问题中应用广泛，如金融计算、几何增长模型等。为了便于理解和使用，以下是对等比数列相关公式的总结。

一、基本概念

- 首项（a₁）：数列的第一个数。

- 公比（r）：相邻两项的比值，即 $ r = \frac{a_{n+1}}{a_n} $。

- 第n项（aₙ）：数列中的第n个数。

- 前n项和（Sₙ）：从首项到第n项的总和。

- 无穷等比数列和（S）：当 r < 1 时，无限项的和。

二、常用公式总结

三、典型例题解析

例题1：已知等比数列首项为3，公比为2，求第5项和前5项和。

- 第5项：

$ a_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48 $

- 前5项和：

$ S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 32}{-1} = 3 \cdot 31 = 93 $

例题2：已知等比数列首项为5，公比为0.5，求无穷项和。

- 无穷项和：

$ S = \frac{5}{1 - 0.5} = \frac{5}{0.5} = 10 $

四、注意事项

- 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数列，前n项和为 $ S_n = a_1 \cdot n $。

- 当公比 $ r \geq 1 $ 时，无穷项和发散，无法求和。

- 在实际应用中，需注意公比的正负及大小对结果的影响。

通过以上内容的整理，可以更清晰地掌握等比数列的相关公式及其应用场景。在学习和解题过程中，灵活运用这些公式有助于提高效率和准确性。